Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Определение точки пересечения двух прямых

1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A (x 1 , y 1) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k ,

y - y 1 = k (x - x 1). (1)

Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку A (x 1 , y 1), которая называется центром пучка.

2. Уравнение прямой, проходящей через две точки: A (x 1 , y 1) и B (x 2 , y 2), записывается так:

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле

3. Углом между прямыми A и B называется угол, на который надо повернуть первую прямую A вокруг точки пересечения этих прямых против движения часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой B . Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом

y = k 1 x + B 1 ,

Данная статья раскрывает получение уравнения прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат, расположенной на плоскости. Выведем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат. Наглядно покажем и решим несколько примеров, касающихся пройденного материала.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Перед получением уравнения прямой, проходящей через две заданные точки необходимо обратить внимание на некоторые факты. Существует аксиома, которая говорит о том, что через две несовпадающие точки на плоскости возможно провести прямую и только одну. Иначе говоря, две заданные точки плоскости определяются прямой линией, проходящей через эти точки.

Если плоскость задана прямоугольной системой координат Оху, то любая изображенная в нем прямая будет соответствовать уравнению прямой на плоскости. Также имеется связь с направляющим вектором прямой.Этих данных достаточно для того, чтобы произвести составление уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Рассмотрим на примере решения подобной задачи. Необходимо составить уравнение прямой a , проходящей через две несовпадающие точки M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2 , y 2) , находящиеся в декартовой системе координат.

В каноническом уравнении прямой на плоскости, имеющего вид x - x 1 a x = y - y 1 a y , задается прямоугольная система координат О х у с прямой, которая пересекается с ней в точке с координатами M 1 (x 1 , y 1) с направляющим вектором a → = (a x , a y) .

Необходимо составить каноническое уравнение прямой a , которая пройдет через две точки с координатами M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2 , y 2) .

Прямая а имеет направляющий вектор M 1 M 2 → с координатами (x 2 - x 1 , y 2 - y 1) , так как пересекает точки М 1 и М 2 . Мы получили необходимые данные для того, чтобы преобразовать каноническое уравнение с координатами направляющего вектора M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1) и координатами лежащих на них точках M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2 , y 2) . Получим уравнение вида x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 или x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Следуя по вычислениям, запишем параметрические уравнения прямой на плоскости, которое проходит через две точки с координатами M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2 , y 2) . Получим уравнение вида x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ или x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Рассмотрим подробней на решении нескольких примеров.

Пример 1

Записать уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки с координатами M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Решение

Каноническим уравнением для прямой, пересекающейся в двух точках с координатами x 1 , y 1 и x 2 , y 2 принимает вид x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . По условию задачи имеем, что x 1 = - 5 , y 1 = 2 3 , x 2 = 1 , y 2 = - 1 6 . Необходимо подставить числовые значения в уравнение x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Отсюда получим, что каноническое уравнение примет вид x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Ответ: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

При необходимости решения задачи с другим видом уравнения, то для начала можно перейти к каноническому, так как из него проще прийти к любому другому.

Пример 2

Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки с координатами M 1 (1 , 1) и M 2 (4 , 2) в системе координат О х у.

Решение

Для начала необходимо записать каноническое уравнение заданной прямой, которая проходит через заданные две точки. Получим уравнение вида x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Приведем каноническое уравнение к искомому виду, тогда получим:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 · x - 1 = 3 · y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Ответ: x - 3 y + 2 = 0 .

Примеры таких заданий были рассмотрены в школьных учебниках на уроках алгебры. Школьные задачи отличались тем, что известным было уравнение прямой с угловым коэффициентом, имеющее вид y = k x + b . Если необходимо найти значение углового коэффициента k и числа b , при которых уравнение y = k x + b определяет линию в системе О х у, которая проходит через точки M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2 , y 2) , где x 1 ≠ x 2 . Когда x 1 = x 2 , тогда угловой коэффициент принимает значение бесконечности, а прямая М 1 М 2 определена общим неполным уравнением вида x - x 1 = 0 .

Потому как точки М 1 и М 2 находятся на прямой, тогда их координаты удовлетворяют уравнению y 1 = k x 1 + b и y 2 = k x 2 + b . Следует решить систему уравнений y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b относительно k и b .

Для этого найдем k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 1 или k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 2 .

С такими значениями k и b уравнение прямой, проходящее через заданные две точки, принимает следующий вид y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 1 или y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 2 .

Запомнить сразу такое огромное количество формул не получится. Для этого необходимо учащать количество повторений в решениях задач.

Пример 3

Записать уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точки с координатами M 2 (2 , 1) и y = k x + b .

Решение

Для решения задачи применяем формулу с угловым коэффициентом, имеющую вид y = k x + b . Коэффициенты k и b должны принимать такое значение, чтобы данное уравнение соответствовало прямой, проходящей через две точки с координатами M 1 (- 7 , - 5) и M 2 (2 , 1) .

Точки М 1 и М 2 располагаются на прямой, тогда их координаты должны обращать уравнение y = k x + b верное равенство. Отсюда получаем, что - 5 = k · (- 7) + b и 1 = k · 2 + b . Объединим уравнение в систему - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b и решим.

При подстановке получаем, что

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 · 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Теперь значения k = 2 3 и b = - 1 3 подвергаются подстановке в уравнение y = k x + b . Получаем, что искомым уравнением, проходящим через заданные точки, будет уравнение, имеющее вид y = 2 3 x - 1 3 .

Такой способ решения предопределяет траты большого количества времени. Существует способ, при котором задание решается буквально в два действия.

Запишем каноническое уравнение прямой, проходящей через M 2 (2 , 1) и M 1 (- 7 , - 5) , имеющее вид x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Теперь переходим к уравнению в угловым коэффициентом. Получаем, что: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Ответ: y = 2 3 x - 1 3 .

Если в трехмерном пространстве имеется прямоугольная система координат О х у z с двумя заданными несовпадающими точками с координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , проходящая через них прямая M 1 M 2 , необходимо получить уравнение этой прямой.

Имеем, что канонические уравнения вида x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z и параметрические вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ способны задать линию в системе координат О х у z , проходящую через точки, имеющие координаты (x 1 , y 1 , z 1) с направляющим вектором a → = (a x , a y , a z) .

Прямая M 1 M 2 имеет направляющий вектор вида M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , где прямая проходит через точку M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , отсюда каноническое уравнение может быть вида x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 или x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1 , в свою очередь параметрические x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ z = z 1 + (z 2 - z 1) · λ или x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Рассмотрим рисунок, на котором изображены 2 заданные точки в пространстве и уравнение прямой.

Пример 4

Написать уравнение прямой, определенной в прямоугольной системе координат О х у z трехмерного пространства, проходящей через заданные две точки с координатами M 1 (2 , - 3 , 0) и M 2 (1 , - 3 , - 5) .

Решение

Необходимо найти каноническое уравнение. Так как речь идет о трехмерном пространстве, значит при прохождении прямой через заданные точки, искомое каноническое уравнение примет вид x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

По условию имеем, что x 1 = 2 , y 1 = - 3 , z 1 = 0 , x 2 = 1 , y 2 = - 3 , z 2 = - 5 . Отсюда следует, что необходимые уравнения запишутся таким образом:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Ответ: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.

Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно (3, -1).

Решение . Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно, С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х 1 ≠ х 2 и х = х 1 , если х 1 = х 2 .

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

Если общее Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k .

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение. Каждый ненулевой вектор (α 1 , α 2), компоненты которого удовлетворяют условию А α 1 + В α 2 = 0 называется направляющим вектором прямой

Ах + Ву + С = 0.

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Решение. Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0. при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое уравнение:

Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим: или

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

С = 1, , а = -1, b = 1.

Нормальное уравнение прямой

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 умножить на число , которое называется нормирующем множителем , то получим

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

нормальное уравнение прямой. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример . Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.

уравнение этой прямой в отрезках:

уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.

Пример . Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см 2 .

Решение. Уравнение прямой имеет вид: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4 < 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Пример . Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.

Решение . Уравнение прямой имеет вид: , где х 1 = у 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Угол между прямыми на плоскости

Определение. Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , то острый угол между этими прямыми будет определяться как

.

Две прямые параллельны, если k 1 = k 2 . Две прямые перпендикулярны, если k 1 = -1/ k 2 .

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А 1 = λА, В 1 = λВ. Если еще и С 1 = λС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой

Определение. Прямая, проходящая через точку М 1 (х 1 , у 1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

Расстояние от точки до прямой

Теорема. Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

.

Доказательство. Пусть точка М 1 (х 1 , у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М 1:

(1)

Координаты x 1 и у 1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Теорема доказана.

Пример . Определить угол между прямыми: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Пример . Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Решение . Находим: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

Пример . Даны вершины треугольника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Решение . Находим уравнение стороны АВ: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b . k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .

Ответ: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Уравнение параболы является квадратичной функцией. Существует несколько вариантов составления этого уравнения. Все зависит от того, какие параметры представлены в условии задачи.

Инструкция

Парабола представляет собой кривую, которая по своей форме напоминает дугу и является графиком степенной функции. Независимо от того, характеристики имеет парабола, эта является четной. Четной называется такая функция, у при всех значениях аргумента из определения при изменении знака аргумента значение не изменяется:f(-x)=f(x)Начните с самой простую функции: y=x^2. Из ее вида можно сделать вывод, что она как при положительных, так и при отрицательных значениях аргумента x. Точка, в которой x=0, и при этом, y =0 считается точкой .

Ниже приведены все основные варианты построения этой функции и ее . В качестве первого примера ниже рассмотрена функция вида:f(x)=x^2+a, где a - целое числоДля того, чтобы построить график данной функции, необходимо сдвинуть график функции f(x) на a единиц. Примером может служить функция y=x^2+3, где вдоль оси y сдвигают функцию на две единицы. Если дана функция с противоположным знаком, например y=x^2-3, то ее график сдвигают вниз по оси y.

Еще один вид функции, которой может быть задана парабола - f(x)=(x +a)^2. В таких случаях график, наоборот, сдвигается вдоль оси абсцисс (оси x) на a единиц. Для примера можно рассмотреть функции: y=(x +4)^2 и y=(x-4)^2. В первом случае, где имеется функция со знаком плюс, график сдвигают по оси x влево, а во втором случае - вправо. Все эти случаи показаны на рисунке.

Свойства прямой в евклидовой геометрии.

Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.

Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.

Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются

параллельными (следует из предыдущего).

В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:

• прямые пересекаются;

• прямые параллельны;

• прямые скрещиваются.

Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия

задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Общее уравнение прямой.

Определение . Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:

. C = 0, А ≠0, В ≠ 0 - прямая проходит через начало координат

. А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0} - прямая параллельна оси Ох

. В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} - прямая параллельна оси Оу

. В = С = 0, А ≠0 - прямая совпадает с осью Оу

. А = С = 0, В ≠0 - прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких - либо заданных

начальных условий.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Определение . В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В)

перпендикулярен прямой, заданной уравнением

Ах + Ву + С = 0.

Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Решение . Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х - у + С = 0. Для нахождения коэффициента С

подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 - 2 + C = 0, следовательно

С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х - у - 1 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M2 (x 2, y 2 , z 2), тогда уравнение прямой ,

проходящей через эти точки:

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На

плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х 1 ≠ х 2 и х = х 1 , если х 1 = х 2 .

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой .

Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Решение . Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется

уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание

прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение . Каждый ненулевой вектор (α 1 , α 2) , компоненты которого удовлетворяют условию

Аα 1 + Вα 2 = 0 называется направляющим вектором прямой.

Ах + Ву + С = 0.

Пример . Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Решение . Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением,

коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.

при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3 , т.е. искомое уравнение:

х + у - 3 = 0

Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на -С, получим:

или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения

прямой с осью Ох, а b - координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример . Задано общее уравнение прямой х - у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

С = 1, , а = -1, b = 1.

Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется

нормирующем множителем , то получим

xcosφ + ysinφ - p = 0 - нормальное уравнение прямой .

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0.

р - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую,

а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример . Дано общее уравнение прямой 12х - 5у - 65 = 0 . Требуется написать различные типы уравнений

этой прямой.

Уравнение этой прямой в отрезках :

Уравнение этой прямой с угловым коэффициентом : (делим на 5)

Уравнение прямой :

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Следует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые,

параллельные осям или проходящие через начало координат.

Угол между прямыми на плоскости.

Определение . Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , то острый угол между этими прямыми

будет определяться как

Две прямые параллельны, если k 1 = k 2 . Две прямые перпендикулярны,

если k 1 = -1/ k 2 .

Теорема .

Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты

А 1 = λА, В 1 = λВ . Если еще и С 1 = λС , то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых

находятся как решение системы уравнений этих прямых.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.

Определение . Прямая, проходящая через точку М 1 (х 1 , у 1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b

представляется уравнением:

Расстояние от точки до прямой.

Теорема . Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С = 0 определяется как:

Доказательство . Пусть точка М 1 (х 1 , у 1) - основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную

прямую. Тогда расстояние между точками М и М 1 :

(1)

Координаты x 1 и у 1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы - это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно

заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Теорема доказана.

---