Рассмотрим функцию y(x), которая записывается неявным способом в общем виде $ F(x,y(x)) = 0 $. Производная неявной функции находится двумя способами:
- Дифференцированием обеих частей уравнения
- С помощью использования готовой формулы $ y" = - \frac{F"_x}{F"_y} $
Как найти?
Способ 1
Не требуется приводить функцию к явному виду. Нужно сразу приступать к дифференцированию левой и правой части уравнения по $ x $. Стоит обратить внимание, что производная $ y" $ вычисляется по правилу дифференцирования сложной функции. Например, $ (y^2)"_x = 2yy" $. После нахождения производной необходимо выразить $ y" $ из полученного уравнения и разместить $ y" $ в левой части.
Способ 2
Можно воспользоваться формулой, в которой используются в числителе и знаменателе частные производные неявной функции $ F(x,y(x)) = 0 $. Для нахождения числителя берем производную по $ x $, а для знаменателя производную по $ y $.
Вторую производную неявной функции можно найти с помощью повторного дифференцирования первой производной неявной функции.
Примеры решений
Рассмотрим практические примеры решений на вычисление производной неявно заданной функции.
Пример 1 |
Найти производную неявной функции $ 3x^2y^2 -5x = 3y - 1 $ |
Решение |
Воспользуемся способом №1. А именно продифференцируем левую и правую часть уравнения: $$ (3x^2y^2 -5x)"_x = (3y - 1)"_x $$ Не забываем при дифференцировании использовать формулу производной произведения функций: $$ (3x^2)"_x y^2 + 3x^2 (y^2)"_x - (5x)"_x = (3y)"_x - (1)"_x $$ $$ 6x y^2 + 3x^2 2yy" - 5 = 3y" $$ $$ 6x y^2 - 5 = 3y" - 6x^2 yy" $$ $$ 6x y^2 - 5 = y"(3-6x^2 y) $$ $$ y" = \frac{6x y^2 - 5}{3 - 6x^2y } $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
Ответ |
$$ y" = \frac{6x y^2 - 5}{3 - 6x^2y } $$ |
Пример 2 |
Функция задана неявно, найти производную $ 3x^4 y^5 + e^{7x-4y} -4x^5 -2y^4 = 0 $ |
Решение |
Воспользуемся способом №2. Находим частные производные функции $ F(x,y) = 0 $ Положим $ y $ постоянной и продифференцируем по $ x $: $$ F"_x = 12x^3 y^5 + e^{7x-4y} \cdot 7 - 20x^4 $$ $$ F"_x = 12x^3 y^5 + 7e^{7x-4y} - 20x^4 $$ Считаем теперь $ x $ константой и дифференцируем по $ y $: $$ F"_y = 15x^4 y^4 + e^{7x-4y} \cdot (-4) - 8y^3 $$ $$ F"_y = 15x^4 y^4 - 4e^{7x-4y} - 8y^3 $$ Подставляем теперь в формулу $ y" = -\frac{F"_y}{F"_x} $ и получаем: $$ y" = -\frac{12x^3 y^5 + 7e^{7x-4y} - 20x^4}{15x^4 y^4 - 4e^{7x-4y} - 8y^3} $$ |
Ответ |
$$ y" = -\frac{12x^3 y^5 + 7e^{7x-4y} - 20x^4}{15x^4 y^4 - 4e^{7x-4y} - 8y^3} $$ |
Пусть функция задана неявным образом с помощью уравнения
(1)
.
И пусть это уравнение, при некотором значении ,
имеет единственное решение .
Пусть функция является дифференцируемой функцией в точке ,
причем
.
Тогда, при этом значении ,
существует производная ,
которая определяется по формуле:
(2)
.
Доказательство
Для доказательства рассмотрим функцию как сложную функцию от переменной :
.
Применим правило дифференцирования сложной функции и найдем производную по переменной от левой и правой частей уравнения
(3)
:
.
Поскольку производная от постоянной равна нулю и ,
то
(4)
;
.
Формула доказана.
Производные высших порядков
Перепишем уравнение (4), используя другие обозначения:
(4)
.
При этом и являются сложными функциями от переменной :
;
.
Зависимость определяет уравнение (1):
(1)
.
Находим производную по переменной от левой и правой части уравнения (4).
По формуле производной сложной функции имеем:
;
.
По формуле производной произведения :
.
По формуле производной суммы :
.
Поскольку производная правой части уравнения (4) равна нулю, то
(5)
.
Подставив сюда производную ,
получим значение производной второго порядка в неявном виде.
Дифференцируя, аналогичным образом, уравнение (5), мы получим уравнение, содержащее производную третьего порядка :
.
Подставив сюда найденные значения производных первого и второго порядков, найдем значение производной третьего порядка.
Продолжая дифференцирование, можно найти производную любого порядка.
Примеры
Пример 1
Найдите производную первого порядка от функции, заданной неявно уравнением:
(П1)
.
Решение по формуле 2
Находим производную по формуле (2):
(2)
.
Перенесем все переменные в левую часть, чтобы уравнение приняло вид .
.
Отсюда .
Находим производную по ,
считая постоянной.
;
;
;
.
Находим производную по переменной ,
считая переменную постоянной.
;
;
;
.
По формуле (2) находим:
.
Мы можем упростить результат если заметим, что согласно исходному уравнению (П.1), .
Подставим :
.
Умножим числитель и знаменатель на :
.
Решение вторым способом
Решим этот пример вторым способом. Для этого найдем производную по переменной левой и правой частей исходного уравнения (П1).
Применяем :
.
Применяем формулу производной дроби :
;
.
Применяем формулу производной сложной функции :
.
Дифференцируем исходное уравнение (П1).
(П1)
;
;
.
Умножаем на и группируем члены.
;
.
Подставим (из уравнения (П1)):
.
Умножим на :
.
Ответ
Пример 2
Найти производную второго порядка от функции ,
заданной неявно с помощью уравнения:
(П2.1)
.
Решение
Дифференцируем исходное уравнение, по переменной ,
считая что является функцией от :
;
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Дифференцируем исходное уравнение (П2.1):
;
.
Из исходного уравнения (П2.1) следует, что .
Подставим :
.
Раскрываем скобки и группируем члены:
;
(П2.2)
.
Находим производную первого порядка:
(П2.3)
.
Чтобы найти производную второго порядка, дифференцируем уравнение (П2.2).
;
;
;
.
Подставим выражение производной первого порядка (П2.3):
.
Умножим на :
;
.
Отсюда находим производную второго порядка.
Ответ
Пример 3
Найти производную третьего порядка при от функции ,
заданной неявно с помощью уравнения:
(П3.1)
.
Решение
Дифференцируем исходное уравнение по переменной считая, что является функцией от .
;
;
;
;
;
;
(П3.2)
;
Дифференцируем уравнение (П3.2) по переменной .
;
;
;
;
;
(П3.3)
.
Дифференцируем уравнение (П3.3).
;
;
;
;
;
(П3.4)
.
Из уравнений (П3.2), (П3.3) и (П3.4) находим значения производных при .
;
;
.
Будем учиться находить производные функций, заданных неявно, то есть заданных некоторыми уравнениями, связывающими между собой переменные x и y . Примеры функций, заданных неявно:
,
,
Производные функций, заданных неявно, или производные неявных функций, находятся довольно просто. Сейчас же разберём соответствующее правило и пример, а затем выясним, для чего вообще это нужно.
Для того, чтобы найти производную функции, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения по иксу. Те слагаемые, в которых присутствует только икс, обратятся в обычную производную функции от икса. А слагаемые с игреком нужно дифференцировать, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, так как игрек - это функция от икса. Если совсем просто, то в полученной производной слагаемого с иксом должно получиться: производная функции от игрека, умноженная на производную от игрека. Например, производная слагаемого запишется как , производная слагаемого запишется как . Далее из всего этого нужно выразить этот "игрек штрих" и будет получена искомая производная функции, заданной неявно. Разберём это на примере.
Пример 1.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу, считая, что игрек - функция от икса:
Отсюда получаем производную, которая требуется в задании:
Теперь кое-что о неоднозначном свойстве функций, заданных неявно, и почему нужны особенные правила их дифференцирования. В части случаев можно убедиться, что подстановка в заданное уравнение (см. примеры выше) вместо игрека его выражения через икс приводит к тому, что это уравнение обращается в тождество. Так. приведённое выше уравнение неявно определяет следующие функции:
После подстановки выражения игрека в квадрате через икс в первоначальное уравнение получаем тождество:
.
Выражения, которые мы подставляли, получились путём решения уравнения относительно игрека.
Если бы мы стали дифференцировать соответствующую явную функцию
то получили бы ответ как в примере 1 - от функции, заданной неявно:
Но не всякую функцию, заданную неявно, можно представить в виде y = f (x ) . Так, например, заданные неявно функции
не выражаются через элементарные функции, то есть эти уравнения нельзя разрешить относительно игрека. Поэтому и существует правило дифференцирования функции, заданной неявно, которое мы уже изучили и далее будем последовательно применять в других примерах.
Пример 2. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Выражаем игрек штрих и - на выходе - производная функции, заданной неявно:
Пример 3. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:
.
Пример 4. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:
.
Выражаем и получаем производную:
.
Пример 5. Найти производную функции, заданной неявно:
Решение. Переносим слагаемые в правой части уравнение в левую часть и справа оставляем ноль. Дифференцируем обе части уравнения по иксу.
Очень часто при решении практических задач (например, в высшей геодезии или аналитической фотограмметрии) появляются сложные функции нескольких переменных, т. е. аргументы x, y, z одной функцииf (x,y,z) ) сами являются функциями от новых переменныхU, V, W ).
Так, например, бывает при переходе от неподвижной системы координат Oxyz в подвижную системуO 0 UVW и обратно. При этом важно знать все частные производные по "неподвижным" - "старым" и "подвижным" - "новым" переменным, так как эти частные производные обычно характеризуют положение объекта в этих системах координат, и, в частности, влияют на соответствие аэрофотоснимков реальному объекту. В таких случаях применяются следующие формулы:
То есть задана сложная функцияT трех "новых" переменныхU, V, W посредством трёх "старых" переменныхx, y, z, тогда:
Замечание. Возможны вариации в количестве переменных. Например: если
В частности, еслиz = f(xy), y = y(x) , то получаем так называемую формулу "полной производной":
Эта же формула "полной производной" в случае:
примет вид:
Возможны и иные вариации формул (1.27) - (1.32).
Замечание: формула "полной производной" используется в курсе физики, раздел "Гидродинамика" при выводе основополагающей системы уравнений движения жидкости.
Пример 1.10. Дано:
Согласно (1.31):
§7 Частные производные неявно заданной функции нескольких переменных
Как известно, неявно заданная функция одной переменной определяется так: функция у независимой переменной x называется неявной, если она задана уравнением, не разрешенным относительноy :
Пример 1.11.
Уравнение
неявно задаёт две функции:
А уравнение
не задаёт никакой функции.
Теорема 1.2 (существования неявной функции).
Пусть функция z =f(х,у) и ее частные производныеf" x иf" y определены и непрерывны в некоторой окрестностиU M0 точкиM 0 (x 0 y 0 ) . Кроме того,f(x 0 ,y 0 )=0 иf"(x 0 ,y 0 )≠0 , тогда уравнение (1.33) определяет в окрестностиU M0 неявную функциюy= y(x) , непрерывную и дифференцируемую в некотором интервалеD с центром в точке x 0 , причемy(x 0 )=y 0 .
Без доказательства.
Из теоремы 1.2 следует, что на этом интервале D :
то- есть имеет место тождество по
где "полная" производная находится согласно (1.31)
То есть (1.35) дает формулу нахождения производной неявно заданной функции одной переменной x .
Аналогично определяется и неявная функция двух и более переменных.
Например, если в некоторой области V пространстваOxyz выполняется уравнение:
то при некоторых условиях на функцию F оно неявно задаёт функцию
При этом по аналогии с (1.35) ее частные производные находятся так.
Сначала рассмотрим неявную функцию одного переменного. Она определяется уравнением (1), которое каждому х из некоторой области Х сопоставляет определённое у. Тогда на Х определяется этим уравнением функция у=f(х). Её называют неявной или неявно заданной . Если уравнение (1) удаётся разрешить относительно у, т.е. получить вид у=f(х), то задание неявной функции становится явным. Однако разрешить уравнение удается не всегда и в этом случае не всегда ясно – существует ли вообще неявная функция у=f(х), определяемая уравнением (1) в некоторой окрестности точки (x 0 , y 0).
Например,
уравнение
неразрешимо относительноy
и неясно - определяет ли оно неявную
функцию в некоторой окрестности точки
(1,0), например. Заметим, что существуют
уравнения, не определяющие никакой
функции (x 2 +y 2 +1=0).
Оказывается справедливой следующая теорема:
Теорема «Существования и дифференцируемости неявной функции» (без доказательства)
Пусть
дано уравнение
(1) и функция
,
удовлетворяет условиям:
Тогда:
. (2)
Геометрически
теорема утверждает, что в окрестности
точки
,
где выполняемы условия теоремы, неявная
функция, определяемая уравнением (1),
может быть задана в явном виде у=f(х),
т.к. каждому значению х соответствует
единственное у. Если даже мы не можем
найти выражение функции в явном виде,
мы уверены, что в некоторой окрестности
точки М 0
это уже
возможно в принципе.
Рассмотрим
тот же пример:
.
Проверим условия:
1)
,
- и функция и её производные непрерывны
в окрестности точки (1,0) (как сумма и
произведение непрерывных).
2)
.
3)
.
Значит, неявная функция у=
f(х) существует
в окрестности точки (1,0). Мы не можем её
выписать в явном виде, но можем все-таки
найти её производную, которая будет
даже непрерывной:
Рассмотрим теперь неявную функцию от нескольких переменных . Пусть задано уравнение
. (2)
Если
каждой паре значений (х,у) из некоторой
области уравнение (2) сопоставляет одно
определённое значение z,
то говорят, что это уравнение неявно
определяет однозначную функцию от двух
переменных
.
Справедлива и соответствующая теорема существования и дифференцирования неявной функции нескольких переменных.
Теорема
2
: Пусть дано
уравнение
(2) и функция
удовлетворяет условиям:
Пример
:
.
Это уравнение задаётz
как двузначную неявную функцию от х и
у
.
Если проверить условия теоремы в
окрестности точки, например, (0,0,1), то
видим выполнение всех условий:
Значит,
неявная однозначная функция существует
в окрестности точки (0,0,1): Можно сказать
сразу, что это
,
задающая верхнюю полусферу.
Существуют
непрерывные частные производные
Они, кстати, получаются такими же, если
дифференцировать неявную функцию,
выраженную в явном виде, непосредственно.
Определение и теорема существования и дифференцирования неявной функции большего числа аргументов аналогичны.
Государство
Методическая разработка для воспитателей «Применение информационно-коммуникационных технологий (ИКТ) в воспитательно-образовательном процессе ДОУ»
Семья и Дети
Самые необходимые заговоры на защиту — без них не обойтись Зеркальный щит заговор оберег
Деньги